Geometry　相似の証明 - アメリカの大学で奮闘中

中学の時に習ったであろう、２つの角が同じなら相似を証明していきます。

そもそも相似(similarity)の定義は...

大学で使っているテキストブックによると．．．

Two triangles are similar if their corresponding angles are equal and if their sides are in proportion.

(もし対応する角(全て)が等しくて、辺(全て)の比が等しい時、２つの三角形を相似という。)

それを元にして考えると、合同な三角形の場合対応する角は全て等しく、全ての辺も１：１で同じ比率になるため、合同な三角形は相似と言えます。

今回証明は割愛させてもらいますが、

もし△ABC~△DEFならば、△DEF~△ABC

もし△ABC~△DEFかつ△DEF~△GHIならば、△ABC~△GHI

は使っていいこととします。

次の証明の際に、"もし三角形がいずれかの辺の平行線で分割されたならば、できた三角形は元の三角形と相似である"この性質を使うため、先にここで証明しておきます。

証明)

△ABCとDE||BCが与えられているとする。

∠DAE = ∠BAC

∠ADE = ∠ABC,　∠AED =∠ACB (平行線の同位角)

△ABCと△ADEの対応している３つの角は全て等しい

平行線と比の関係より

CE:AE = BD:AD すなわち、CE/AE = BD/AD

よって、CE/AE + AE/AE = AC/AE = BD/AD + AD/AD = AB/AD ...①

DF||ACを使って、同様に

BF/FC + FC/FC = BC/FC = BD/AD + AD/AD = AB/AD ...②

四角形DFCEが平行四辺形なので、DE=FC

②をBC/DE =AB/AD ...③と書き換えることができる

①、③より、BC/DE = AB/AD = AC/CE

よって、△ABCと△ADEの対応している３つの辺の比は全て等しい

以上より、△ABCと△ADEは相似　　□

それでは、今回の目的の３つの角の均さや全ての辺の割合の均一さを説明しなくても、対応する角２つの等しさで事足りることを証明していきたいと思います。

上の準備で赤色のところはこれからの証明で使う内容ですので、適時参照してください。

証明）

△ABCと△ADEと∠A = ∠D、∠B = ∠E、∠C = ∠Fが与えられているとする

1) AB = DEの時、△ABCと△ADEは合同な三角形であるため相似

2)AB ≠ DEの時

AB>DE, AC>DFと仮定すると、AB、AC上にAG= DE,AH=DFを満たすGとHをとることができる。線を書き足して線分GHを作る。

△AGHと△DEFは合同である(∠A = ∠D,AG= DE,AH=DFより)　

∠AGH =∠DEF。

∠B = ∠Eであるため、∠AGH =∠DEF=∠B(∠ABC)

同位角が等しいため、GH||BC

先ほどの証明を使って,△ABCと△AGHは相似

△AGHと△DEFは合同(相似)であるため、,△ABCと△DEFは相似　□