中学の時に習ったであろう、２つの角が同じなら相似を証明していきます。
事前準備
そもそも相似とは
そもそも相似(similarity)の定義は...
大学で使っているテキストブックによると．．．
Two triangles are similar if their corresponding angles are equal and if their sides are in proportion.
(もし対応する角(全て)が等しくて、辺(全て)の比が等しい時、２つの三角形を相似という。)
それを元にして考えると、合同な三角形の場合対応する角は全て等しく、全ての辺も１：１で同じ比率になるため、合同な三角形は相似と言えます。
今回証明は割愛させてもらいますが、
もし△ABC~△DEFならば、△DEF~△ABC
もし△ABC~△DEFかつ△DEF~△GHIならば、△ABC~△GHI
は使っていいこととします。
三角形と内部の平行線
次の証明の際に、"もし三角形がいずれかの辺の平行線で分割されたならば、できた三角形は元の三角形と相似である"この性質を使うため、先にここで証明しておきます。
証明)
△ABCとDE||BCが与えられているとする。
∠DAE = ∠BAC
∠ADE = ∠ABC, ∠AED =∠ACB (平行線の同位角)
△ABCと△ADEの対応している３つの角は全て等しい
平行線と比の関係より
CE:AE = BD:AD すなわち、CE/AE = BD/AD
よって、CE/AE + AE/AE = AC/AE = BD/AD + AD/AD = AB/AD ...①
DF||ACを使って、同様に
BF/FC + FC/FC = BC/FC = BD/AD + AD/AD = AB/AD ...②
四角形DFCEが平行四辺形なので、DE=FC
②をBC/DE =AB/AD ...③と書き換えることができる
①、③より、BC/DE = AB/AD = AC/CE
よって、△ABCと△ADEの対応している３つの辺の比は全て等しい
以上より、△ABCと△ADEは相似 □
実際の証明
それでは、今回の目的の３つの角の均さや全ての辺の割合の均一さを説明しなくても、対応する角２つの等しさで事足りることを証明していきたいと思います。
上の準備で赤色のところはこれからの証明で使う内容ですので、適時参照してください。
証明）
△ABCと△ADEと∠A = ∠D、∠B = ∠E、∠C = ∠Fが与えられているとする
1) AB = DEの時、△ABCと△ADEは合同な三角形であるため相似
2)AB ≠ DEの時
AB>DE, AC>DFと仮定すると、AB、AC上にAG= DE,AH=DFを満たすGとHをとることができる。線を書き足して線分GHを作る。
△AGHと△DEFは合同である(∠A = ∠D,AG= DE,AH=DFより)
∠AGH =∠DEF。
∠B = ∠Eであるため、∠AGH =∠DEF=∠B(∠ABC)
同位角が等しいため、GH||BC
先ほどの証明を使って,△ABCと△AGHは相似
△AGHと△DEFは合同(相似)であるため、,△ABCと△DEFは相似 □
